El estudio de las trenzas se ha extendido a muchos ámbitos de las matemáticas y la física. Una de sus aplicaciones más clásicas y relevantes se enmarca en la teoría de nudos: gracias a los teoremas de Alexander (1923) y Markov (1935), se pueden definir invariantes de nudos y enlaces a partir de invariantes de trenzas. Los principales ejemplos son el polinomio de Jones (1983) y su generalización, el polinomio HOMFLYPT (1985). Actualmente se siguen buscando algoritmos eficientes para distinguir enlaces a través de la teoría de trenzas; sirvan como ejemplo los trabajos de Birman y Menasco desde 1991.

Las trenzas entraron en el terreno de la geometría algebraica de la mano de Hurwitz (1891) y fueron estudiadas por otros autores como Zariski (1936), por su relación con el grupo fundamental del discriminante de un polinomio complejo. Gracias a los trabajos de Moishezon (1988), donde se clasificaron las curvas algebraicas en el plano proyectivo complejo salvo difeotopía por su monodromía de trenzas, y a posteriores trabajos en este campo, las trenzas pasaron a ocupar un puesto importante en el estudio de las curvas algebraicas y sus singularidades.

En física teórica también aparecen estas estructuras: las soluciones de la ecuación cuántica de Yang-Baxter, que provienen de la mecánica estadística, dan lugar a grupos cuánticos (Drinfeld, 1986; Jimbo, 1986), que a su vez inducen representaciones de los grupos de trenzas (Turaev, 1988). La interacción entre esas representaciones y las soluciones de las ecuaciones de Yang-Baxter sigue siendo un tema muy activo de investigación.

Siendo un caso particular de automorfismos de superficies salvo isotopía, las trenzas están íntimamente ligadas a la teoría de mapping class groups. La teoría de Nielsen-Thurston de automorfismos de superfices puede ser usada como herramienta para estudiar las trenzas y, a su vez, la inclusión de los grupos de trenzas en otros grupos de automorfismos da lugar a resultados acerca de superficies de género superior (Farb y Margalit, 2008). Este punto de vista hace que las trenzas sean útiles en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales parabólicas (Ghrist y Vandervorst, 2004) y de los sistemas dinámicos discretos (Jiang y Zheng, 2005)

Berrick, Cohen, Wong y Wu descubrieron en 2006 que los grupos de homotopía de la esfera de dimensión 2 están determinados por los grupos fundamentales de ciertos espacios de configuraciones y por tanto se pueden calcular a partir de cocientes de mapping class groups por subgrupos de trenzas Brunnianas.

Por otra parte, los grupos de trenzas son ejemplos de grupos automáticos (Thurston, 1992). Sus propiedades desde el punto de vista de la teoría geométrica de grupos, junto con la simplicidad de sus presentaciones, los convierte en fuente de ejemplos y objeto de estudio para los expertos en esta materia. Las soluciones clásicas del problema de la palabra y el problema de la conjugación se han ido perfeccionando, prestando especial atención a la eficiencia de sus implementaciones mediante ordenador. Estos problemas algorítmicos han servido de base para la aplicación de los grupos de trenzas a la criptografía de clave pública (Anshel, Anshel y Goldfeld, 1999; Ko, Lee et al, 2000).

En esta jornada se pretende reunir a especialistas de todas las disciplinas mencionadas con la finalidad de intercambiar motivaciones, dar a conocer líneas de investigación recientes y planificar nuevas colaboraciones entre equipos.