Georg Friedrich Bernhard  Riemann
Breselenz (Hannover, Alemanya) 17 de setembre de 1826
Selasca (Llac Major, Itàlia) 20 de juliol de 1866

El pare de Riemann, pastor luterà, tingué molta cura de l’educació del seu fill Bernhard, malgrat la situació econòmica modesta. El fill, tímid i malaltís, fou un estudiant brillant, primer a la universitat de Berlín, i després a la de Gotinga, on es doctorà amb un treball sobre les funcions de variable complexa. En aquest treball hi ha les equacions de Cauchy-Riemann i el concepte de superfície de Riemann.

L’any 1854 esdevé Privatdozent, un lloc oficial sense remuneració, de la Universitat de Gotinga. Tres anys més tard és anomenat professor assistent i l’any 1859 succeeix Dirichlet, a la càtedra que havia ocupat, fins a la mort, Gauss.

Afectat de tuberculosi es retirà a Itàlia, on morí als quaranta anys.

Malgrat la seva jovenesa, la seva obra és colossal, i toca tota la gama de la matemàtica de l’època:  estudi de les superfícies de la geometria diferencial i de les geometries no euclidianes, introducció de la definció de la integral, reflexions sobre els fonaments de l’anàlisi matemàtica, aportacions en el camp de les equacions diferencials i, finalment, incursions en la teoria de nombres, en l’àmbit de la topologia i en qüestions relatives a les sèries trigonomètriques.

A la tesi de 1851, Riemann estudia les funcions multivalorades de variable complexa, com ara  que, per a cada , té dues imatges. Defineix un espai format de trossos diversos del pla complex superposats, units en els punts en els quals els valors de  coincideixen (en el nostre exmeple, dos trossos que unim pel punt 0). Són els punts de ramificació. En cada un dels trossos hi defineix una imatge única. S’obté el que s’anomena una superfície de Riemann. En lloc del pla complex usa l’esfera de Riemann, un fet que simplifica l’estudi. En el terball, estudia les funcions harmòniques, demostra la fórmula de Green-Riemann i, interessat pel problema de Dirichlet, demostra en vàries pàgines el principi del màxim i de la perllongació analítica. S’interessa aleshores per la representació conforme i mostra que, donades dues superfícies de Riemann simplement connexes, existeix una representació conforme de l’una en l’altra.

Per tal d’esdevenir Privatdozent  de la Universitat de Gotinga, el candidat ha de presentar el seu Habilitationsvortrag davant la Facultat. Sabem que el costum era de presentar-ne tres, i que el tribunal normalment triava el primer. En el cas de Riemann, Gauss féu que llegís el tercer que es titulava De les hipòtesis que serveixen de base a la geometria, El contingut, malgrat la migradesa del text, era realment evolucionari. En lloc de definir les geometries no euclidianes negant el postulat cinquè, defineix una mètrica local per expressar la variació infinitesimal de la distància en funció de la de les coordenades en la forma , on  és la matriu d’una forma quadràtica definida positiva. Aquesta expressió generalitza l’habitual . Riemann, aleshores, generalitza la noció gaussiana de curvatura i veu que l’existència d’un grup de desplaçament correspon a una curvatura constant. Aquesta nova concepció de geometria pemetrà Einstein disposar d’un àmbit adequat per a la teoria de la relativitat.

En la memòria d’habilitació a la Universitat de Gotinga, Riemann proposa tres qüestions. Entre ells hi ha l‘estudi de la possibilitat de desenvolupar una funció periòdica en sèrie trigonomètrica. Això el porta a haver de precisar la noció de funció integrable i de generalizar-ho a funcions no contínues. Introduiex, doncs, el concepte d’integral (de Riemann), que hem aprés a l’assignatura d’anàlisi real, a la Facultat. Mostra un exemple de función integrable amb una infinitat de punts de discontinuïtat. I defineix, com fem encara ara, la integral impròpia. Mostra que els coeficients de Fourier d’una funció integrable tendeixen a zero (lema de Riemann-Lebesgue) i dóna una condició necessària i suficient per què una sèrie trigonomètrica  convergeixi quan les successions  i  convergeixen a zero. Mostra, amb un exemple, que hi ha funcions integrables que no admeten representació en desenvolupament trigonomètric, però no aconsegueix trobar una condició necessària i suficient de l’existència d’aquest desenvolupament.

En el text de 1859 que són la raó d’aquesta Diada Bernhard Riemann generalitza la funció  —introduïda per Euler, el qual, a més, en veié i establí certes relacions amb els nombres primers— al camp complex. Per tal de demostrar la conjectura de Tchevyshev sobre el repartiment dels nombres primers, es veu abocat a estudiar els zeros complexos d’aquesta funció. Aleshores enuncia la famosa hipòtesi, que encara és oberta.